Han var museumsdirektør ved Herning Kunstmuseum fra 1987-91, museumsinspektør ved Louisiana fra 1991-93, projektleder ved Statens Museum for Kunst fra 1993-94 og leder af Kunsthallen Portalen, Køge Bugt kulturhus fra 1994-98.
Jens Henrik Sandberg har været formand for foreningerne Danske Kunstmuseer og for Danske Museer.
Politiken fortæller i en nekrolog, at Jens Henrik Sandberg som kunsthistoriestuderende i Aarhus spillede professionelt på trommer i orkestret Østjysk Musikforsyning. Han arbejdede som ung også freelance i Danmarks Radio, hvor han var med til at forberede de populære kunstquiz-programmer.
Jens Henrik Sandberg boede ved sin død i Charlottenlund sammen med sin hustru, Jane Sandberg, der også er kunsthistoriker. Hun har tidligere blandt andet været museumsdirektør på Trapholt Museum og Øregaard Museum og har siden 2015 været museumsdirektør på Enigma – Museum for post, tele & kommunikatio